Statistics : 8-1,2,3 : 정규분포

정규분포 (Normal Distribution)

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2019/12/21 - [ML/statistics] - Statistics : 통계학, 도수분포표

Statistics : 통계학, 도수분포표

앞에서도 언급했듯이, 데이터들은 "제각각의 구조"를 가지고 있으며,

우리는 데이터들의 특징을 알기위해서 평균값, 분산, 표준편차를 사용한다고 알고있다.

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우리 사회에서는 데이터의 분포가 가장 일반적인 정규분포이다. 근데 왜??

> 물론 모든 자료들을 정규분포로 설명할 수는 없다. 하지만 여러 통계학의 근간, 여러곳에 응용이 가능하기 때문이다.

> 목적
1. 우리는 정규분포를 이용해서, 데이터에 모집단의 평균값을 빼주고 표준편차를 나눠줌으로써, 데이터들의 평균값을 0, 표준편차를 1로 만들 수 있다. 따라서 여러 모집단들을 한 번에 평균값과 표준편차를 맞춤으로써 비교가 가능하다.

2. 중심극한정리에 의해 표본의 갯수가 30이상 넘어가면, 이는 정규분포로 근사함을 알 수 있다. 따라서 정규분포가 굉장히 많이 쓰인다.

 

정규분포의 확률밀도함수 (probability density function), 분포 그래프

정규분포 확률밀도함수

흔히 우리가 Z라고 부르는 (X-μ)/σ 부분 때문에 서로 대칭이 이루어진다.

히스토그램 상에서는 매끄러운 곡선이 나오지는 않지만, 정규분포가 확률밀도함수를 따르게 된다면, 적분을 통하여 x값의 차이가 극한 0으로 향하면, 매끄러운 곡선이 나오게 된다.

 

정규분포의 확률밀도함수의 평균, 분산, 특징 

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표준정규분포

정의

> 정규분포는 데이터의 평균값과 표준편차를 이용해서 평균값을 0, 표준편차를 1로 만든 것이다.

+4

기존의 데이터에 +4를 한다고 하면, 평균값은 4가 증가하지만, 분산과 편차는 동일함을 알 수 있다.

따라서 우리는 데이터에 평균값을 빼주면서 데이터들의 평균값을 0으로 맞춰둘 수 있다.

 

*2

기존의 데이터에 *2를 한다고 하면, 평균값은 이미 위에서 데이터에 평균값을 해주면서 평균값을 0으로 맞춰두었다.

*2를 해준다고 해도 평균값은 이미 0이니, 분산과 표준편차만 보면 된다. 따라서 분산은 *4, 표준편차는 *2를 한 것처럼 나왔다. 

 

표준정규분포의 성질 - 1

평균값이 0, 표준편차가 1인 정규분포이다.

표준정규분포의 성질 - 2

+1 ~ -1 범위의 데이터의 상대도수는 0.6826 (약 70%)
+2 ~ -2 범위의 데이터의 상대도수는 0.9544 (약 95%)

2번째의 성질은 매우 중요하다. 대부분의 데이터가 2번째의 범위안에 모두 속해 있는 것을 볼 수 있다.

이는 데이터를 판단하는데의 기준이 되기 때문에 매우 중요하다.

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일반정규분포

일반정규분포의 성질 - 1

평균값이 μ, 표준편차가 σ인 정규분포이다.

일반정규분포의 성질 - 2

μ+1σ ~ μ-1σ 범위의 데이터의 상대도수는 0.6826 (약 70%)
μ+2σ ~ μ-2σ 범위의 데이터의 상대도수는 0.9544 (약 95%)

일반정규분포는 표준정규분포가 Z = (x-μ)/σ 이기 때문에, 그대로 평균값과 표준편차를 바꿔준 것이다.

우리가 알아야 할 부분은 "표준정규분포와 일반정규분포를 서로 유동적으로 바꿔쓸 수 있다."

 

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정규분포 적용

1. 데이터들을 도수분포표를 그린다.
2. 상대도수대로 일반정규분포를 그린다.
3. 다른 데이터 그래프와 비교하기 위해, 표준정규분포로 바꾼다.
4. 데이터들끼리 표준정규분포로 보고 비교한다.