Statistics : 5-5 : 표본공간의 분할과 베이즈정리

표본공간의 분할 (Partition)

정의

> 사건 A1, A2 ---- An 이 서로 "배반사건"이고, Ω = A1 ∪ A2 ----- ∪ An 일 때, 사건 A1 --- An 을 교집합이 존재하지 않기 때문에, Ω의 분할이라고 한다.

사건이 서로 배반사건이고, 사건들의 총합이 전체라면, 이는 분할이고, 실제로 많이 쓰이는 개념

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총확률의 법칙 (Law of Total Probability)

정의

> 사건 A1, A2 --- An이 표본공간의 "분할"일 때, 임의의 사건 B의 확률 P(B) 는 다음과 같이 계산할 수 있다.
P(B) = ∑ [ P(B)*P(Ai|B) ] = ∑ [ P(Ai ∩ B) ]

-> 교집합으로 생각하면 굉장히 이해가 빠르다

예시 - 1

Q . 컴퓨터 회사의 주기판 중 30%는 A1, 50%는 A2, 나머지 20%는 A3에서 만들어진다.
각 공장에서 만들어지는 주기판의 불량률은 각각 2%, 1%, 5%라고 하면, 이 회사제품 중 임의로 하나를 추출하였을 때, 이 제품의 주기판이 불량일 확률은 얼마인가?

일단 위의 문제는 표본공간이 A1, A2, A3로써 서로 "분할"되어 있다.

 

임의로 추출한 제품이 불량품일 사건을 B라고 하면,

P(B|A1) = 0.02, P(B|A2) = 0.01, P(B|A3) = 0.05 // P(A1) = 0.3, P(A1) = 0.5, P(A1) = 0.2

 

총확률의 법칙은 표본공간이 항상 분할되어있을 때만 사용하기 때문에, 총확률의 법칙을 도입!

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) = 0.021

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베이즈정리 (Thomas Bayes's Rule)

정의

출처 : 위키피디아

정의에 총확률의 법칙 "P(B) = ∑ [ P(B)*P(Ai|B) ] = ∑ [ P(Ai ∩ B) ]" 이 적용되었다.

 

예시 - 2

Q . 위의 예시-1 를 참고하고, 회사에서 불량품이 발견되었다고 할 때, A1 공장일 확률을 구하시오.

A1은 A1 공장일 확률, B는 공장들에서 불량품이 나올 확률, 

P(A1|B) = P(B|A1)P(A1) / P(B) = P(B|A1)P(A1) / [P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3)]

=0.28571

 

목적 (굉장히 중요)

1. 사건 A가 일어났을 때의 확률 P(Bi|A) 를 계산함에 있어서, 이를 거꾸로 뒤집어 B가 일어났을 때의 확률들 P(Ai|B)로 표현할 수 있다.
즉, A가 조건으로 주어졌을 때, B의 확률에 대해서 궁금했던 것을, 반대로 B가 조건으로 주어졌을 때 A의 확률로 얘기해서 바꿔 쓸 수 있다.

2. 새로운 정보에 대해 어떻게 대응하고 결과를 도출해낼지를 알려주는 강력한 도구

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참고

https://junpyopark.github.io/bayes/

가장 쉽게 이해하는 베이즈 정리(Bayes' Law)

https://j1w2k3.tistory.com/1009

[확률과 통계 이론]베이즈 정리