Statistics : 5-5 : 조건부확률

조건부확률

 

목적, 언제 쓸까?

> 두 개 이상의 사건이 있을 때, 한 사건의 결과가 다른 사건의 확률에 영향을 미치는 경우!!

정의

> 어떤 사건 B가 있을 때, B사건중 A 사건이 일어날 확률을 조건부확률이라고 말하며, P(A|B) 라고 한다.

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사실 조건부확률은 예시를 통해 아는 것이 굉장히 중요하다.

예시 - 1

Q . 한 신용카드 회사에서 주요 고객 25명에 대해 그들의 대금결제현황을 조사했더니, 그 중 20명은 매달 착실하게 결제하고 있었고, 나머지 5명은 항상 기일을 넘기는 것으로 드러났다. 이런 25명의 고객 중에 2명을 임의추출한다고 하였을 때, 다음의 확률을 계산하라

1. 두 사람 모두 대금결제 기일을 어긴다.

2. 한 사람은 기일을 어기는 사람이고, 또 한 사람은 착실하게 대금결제를 하는 사람이다.

우선 S를 대금결제일을 잘 맞추는 사람을 뽑을 확률, F는 결제일을 못맞추는 사람을 뽑을 확률을 말하며, 1,2,3, 은 뽑는 순서를 말한다.

 

1. P (F1 ∩ F2) = P(F2)P(F1|F2) = P(F1)P(F2|F1) // F1일때 F2를 뽑을 확률, F1일 때의 확률을 구하면 된다.

처음 추출할 때 기일을 어기는 사람을 뽑을 확률은 5/25 = 1/5 이다.

이는 비복원추출이기 때문에, 다음번에 기일을 어기는 사람을 뽑을 확률은 4/24=1/6 이다.

따라서 두 사람 모두 대금결제 기일을 어길확률은 1/5 * 1/6 = 1/30 이다.

 

2. P (S1 ∩ F2) + P (S2 ∩ F1) = P(S1)P(F2|S1) + P(S2)P(F1|S2)

처음 추출할 때 기일을 어기는 사람을 뽑을 확률은 5/25 = 1/5 이다.

다음번에 기일을 지키는 사람을 뽑을 확률은 20/24 = 5/6이다.

 

처음 추출할 때 기일을 지키는 사람을 뽑을 확률은 20/25 = 4/5 이다.

다음번에 기일을 어기는 사람을 뽑을 확률은 5/24 이다.

 

따라서 합집합은 1/6 + 1/6 = 1/3

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조건부확률이 왜 중요할까????

P (F1 ∩ F2) = P(F2)P(F1|F2) = P(F1)P(F2|F1) 이렇게 자유롭게 바꿀 수 있다.

1. 상황에 맞춰서 확률을 바꿔서 결론을 도출할 수 있고
2. 결론을 이미 아는 상황에서 과정의 결과를 알 수 있다.

이는 후에 역확률 문제에서도 자세히 다룬다.