3-2. Diffraction : 회절을 이용해서 surface를 구분, Bragg, 역공간

본 글은 고려대학교 화공생명공학과 하정숙 교수님의 강의록을 참고하였으므로,
이를 상업적으로 이용하면 안되며, 글을 가져가실 때는 꼭 출처와 댓글을 남겨주시기 바랍니다.

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Diffraction : 회절을 이용해서 surface를 구분

1-2) 두 개의 파동의 interference, 간섭

파동의 간섭을 이용하면 surface 간의 간격을 관찰할 수 있다.

위 사진은 파동의 간섭현상을 보여준다. 증폭되는 보강간섭, 축소되는 상쇄간섭이 있다.

파장대가 여럿 섞여있는 빛을 쬐어주면, 회절의 차이로 표면을 파악할 수 있다.

Bragg's Law

• Path Difference : AB + BC = $2dsinΘ$, $Θ$ = 빛의 입사각
• 만약 보강간섭이 생긴다면 Path Difference = $nλ$, (만약 처음 파장과 그 다음 파장의 거리를 구한다면 n=1)
• $sin\theta = \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}λ/2a = λ/2d$
  • 만약 Θ와 보강간섭에서의 파장을 알고 있다면 lattic 간의 거리 d를 알 수 있다.
  • 이 때는 unit cell은 cubic이라고 생각할 수 있다

증명 : 평면이 {kh0}라고 할 때, $$\sin\theta = d_{kh0}/(a/h), \cos\theta = d_{kh0}/(a/k)$$ $\sin\theta^2 + \cos\theta^2 = 1$ 을 이용해서 구해보면 $$1/d_{kh0}^2 = h^2/a^2 + k^2/a^2$$
위의 식을 3차원 평면으로 확장시키면 우리가 아는 식이 나온다. (이 증명은 어디 아무에도 안 나와있다.)

De Broglie relation

$p$라는 선형적인 운동량을 모든 입자들은 λ라는 파장을 가진다.
즉, 물질은 입자이면서 파동의 성질을 가지는 이중성을 가진다.

$$p = mv = h/λ$$

Diffraction & Reciprocal Lattice of Crystals

Dispersion Relation

$$λ = h/mv=h/\sqrt{(2mE)}, <p^2/2m = E = \left( \frac{1}{2} \right)mv^2>$$

• 들어온 wave vector와 나온 wave vector가 동일할 때, elastic sactteriing이라 하고, elastic sactteriing이 진행되기 때문에 $E_{in}(k) = E_{out}(k)$
• $k$ = wave vector, 파수이다.
• $k = 2\pi/λ, p = mv = \bar{h}k, \bar{h} = h/2\pi$
  • photon : $E = \bar{h}\omega = \bar{h}2\piν = \bar{h}2\pi(c/\lambda) = \bar{h}ck$
  • electron : $E = p^2/2m = \bar{h}^2k^2/2m$ (빛을 쏜다는 것은 전자를 쏜다는 것이기 때문에)

Change Direction

$k = 2\pi/d - G$

• k의 방향을 보니 산란되어 $k'$ 도 관찰된다. 따라서 우리는 산란된 빛들의 파수를 이용해서 surface 구조를 파악할 것이기 때문에 $\triangle{k}$ 을 살펴본다.
  1. $\triangle{k}$ = $k' - k$ = $k_{out} - k_{in}$
  2. $\triangle{k} = 2k\sin\theta$
  3. $n\lambda = 2k\sin\theta$ : Bragg's Equation
  4. 3번식을 이용해서 4번식을 만듬 : $k = 2\pi/λ = n\pi/d\sin\theta$
  5. 2번 식과 4번식을 대입 : $\triangle{k} = 2n\pi/d = G$
  6. $\triangle{k} = G$ 이기 때문에, $a\triangle{h} = 2\pi k$, $b\triangle{k} = 2\pi k$, $c\triangle{k} = 2\pi k$

Reciprocal Lattice Vector

정의 : 산란되어 나간 빛들이 만드는 Vector

$G = hA + kB + lC$ : 역공간에 대한 벡터

$$A = 2\pi \frac{b × c}{aㆍb × c}, B = 2\pi \frac{c × a}{aㆍb × c}, C = 2\pi \frac{a × b}{aㆍb × c}$$

$Aㆍa = Bㆍb = Cㆍc = 2\pi$, $Aㆍb = Aㆍc = Bㆍa = Bㆍc ... = 0$,
$TㆍG = 2\pi n$ $T$는 법선벡터 (Translation Vector)

Ewald Construction : 실제로 X 회절 측정 방법

1. 투과된 빛이 만드는 점을 기준으로 한다.
2. 위 아래로 $2\theta$ 만큼 올렸을 때, 해당하는 점을 그려본다.
3. G를 측정한다.
4. $k = 2\pi/\lambda$의 반지름을 그려본다.
5. G를 이용해서 $\lambda, n$을 대입해서 d를 알아낼 수 있다.