Statistics : 9-3 : 중심극한정리

정의

모집단의 분포가 정규분포가 아닌 경우에, X bar의 정확한 분포는 모집단의 분포에 따라 다르게 나타난다.
> 그러나 동일한 확률분포를 가진 확률변수 n개의 평균의 분포는 표본의 크기 n이 큰 경우에,
X bar의 분포는 모집단의 분포와 무관하게, (모집단의 분포가 연속이거나 이산이거나 대칭이거나 비대칭이거나) 상관없이 근사적으로 정규분포를 따른다.

공식

모집단의 평균이 μ 이고, 분산이 σ**2 일 때, 임의추출된 표본의 표본평균 X bar는 표본의 크기 n 이 큰 경우, 모집단에 관계없이 (보통 30 이상) 근사적으로 정규분포를 따르게 되며, 그 평균은 μ, 표준편차는 σ / 루트n 이다.

두 그림 다 중심극한정리에 대해서 보여주는 그래프이다.

모집단 자체가 비대칭형으로 분포한다고 하여도, 표본들은 n이 30 이상이라면, 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다.

단점

중심극한정리를 과도하게 집착하여, 실생활에 너무나 많은 부분에서 정규분포로 가정하는 것이다.

데이터, 표본이 충분하지 않은 상황에서 정규분포로 규정하는 것은 옳지 않고, 오류가 발생할 확률이 높다.

ex) 2008 금융위기

 

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[확률과 통계] 48. 중심극한정리, Central Limit Theorem