2-2. Band of Structures : 반도체, Fermi Level, dopant

본 글은 고려대학교 화공생명공학과 하정숙 교수님의 강의록을 참고하였으므로,
이를 상업적으로 이용하면 안되며, 글을 가져가실 때는 꼭 출처와 댓글을 남겨주시기 바랍니다.

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4. Band Structure of Surfaces

bandgap : E_g, min (conduction band) - max (valence band)

conduction band는 자유전자가 없는 구간, valenece band는 자유전자가 차있는 구간

 

BandGap을 활용한 것을 우리는 3가지로 분류할 수 있다.

1. semi-conductor : BandGap을 넘어갈 수 있는 일정 E를 주어서 Conduction band로 전자를 보낸다.
2. insulator : BandGap이 너무 커서 conduction band로 전자가 가지 않아 전류가 흐르지 않는다.
3. metallic solid : BandGap이 너무 작아서 전자가 conduction band로 바로 이동 가능.

4-1) Formation of molecular orbital metal, and Fermi Level

H₂의 orbital이다.

• anti-bonding : bonding을 저해한다.
• bonding : 원자일 때 보다 분자일 때가 더 안정적이다. 따라서 bonding orbital을 형성해서 에너지를 안정화시키려고 한다.

에너지를 안정화 시키기위해 metal 원자들이 서로 합쳐지는 과정들이 metal에서 일어난다면,

metal N개의 원자가 붙는다면 orbital들은 서로 매우 겹치게 되고 이것이 band를 형성하는 과정이다.

여기서의 band는 전자들이 들어갈 수 있는 orbital들의 모임을 말한다.

valence band 이다. 헷갈리지 말 것.

• N개의 분자들이 만나서 N개의 전자들이 band에 채워진다면, Half-Full로 채워질 것이다. (한 오비탈에는 전자가 두 개 들어가기 때문에)
• 이 때, 전자가 채워진 level에서 가장 에너지가 높은 level을 Fermi Level이라고 한다.
• 또한 N/2 ~ N/2 +1 orbital 사이는 Gap이 거의 없어서 올라가는 것도 쉽다. (ex.반만 차있는 물통)
• 따라서 이러한 metal들은 모인다면, 빛이나 전압 같은 E를 준다면 전자들이 쉽게 움직일 수 있다.

4-2) Fermi Level

Fermi Function (중요!)

• 정의 : $F(E) = 1/(1+exp^{(E-E_F)/k_BT})$ : 특정 E가 전자에 의해 Occupied 될 확률 :
  • $E$가 $E_F$ 보다 낮으면 1에 가깝다. 이는 전자가 conduction band로 올라가지 못하고 Occupied 되어있다는 것이다.
  • $E$가 $E_F$ 보다 차이가 크다면 0에 가깝다. 이는 전자가 conduction band로 올라가기 때문에 Occupied 되어있지 않고 움직인다는 것을 보여준다.
• T가 올라갈수록 Occupied 될 확률, $F(E)$은 커지기 때문에, 전자가 conduction band로 못 올라간다.
• T=0 이라면, $E_F$전까지는 무조건 전자는 움직이지 않는다.
• T>0 이라면, $E_F$ 근방에서 확률값이 바뀔 것이다.

4-3) Semi-Conductor

1. 2N 전자가 존재할 때, T=0K에서는 insulator 역할을 가진다. (이미 valence band에 모두 차있는데, F(E)=1이기 때문에, valence band에 있을 확률은 1, 전자가 conduction band로 이동하지 않는다.)
2. 만약 온도를 높여서 T>0K을 만든다면, 전자가 occupied 될 확률은 1에서 1 미만으로 떨어지기 때문에, conduction band로 올라갈 확률이 생긴다. 즉, 온도를 조절해서 전류를 통하게 하는 것을 반도체라고 한다.
3. valence band에서 전자가 빠진 구멍을 hole 이라고 한다.

Intrinsic Semi-Conductor

• 정의 : 전도도가 열역학적으로 생성된 electron, hole, pair에 지배적이다.
• $n$ = $p$ = $n_i$
• $n$ = electron의 농도, $cm^{-3}$
• $p$ = hole 의 농도
• $n_i$ = intrinsic carrier concentration
• carrier 농도 :
  1. thermal excitation에 의해 carrier 생성
  2. hole과 electron의 recombination (전자가 hole로 다시 내려오는 것을 말한다.)
• steady state : EHP의 생성 속도 = recombination 속도 (electron과 hole의 생성속도와 electron에서 hole로 다시 돌아가는 속도가 같다는 것이다.)

Extrinsic Semi-Conductor

Band Gap 보다 큰 E를 줘야 전자가 이동한다. 하지만 이렇게 하기에는 쉽지않다.

따라서 우리는 쉽게 전자를 이동시키기 위해 Doping을 한다.

• 정의 : lattice에 일부러 불순물을 첨가하는 행위, charge를 일부러 준다. (예를 들면, Si 자리에 다른 원소들을 넣는다. 불순물이 없는 반도체들은 intrinsic 해서 일정 에너지를 주어야 전류가 통하지만, 불순물을 첨가하면 E를 적게 주어도 전류가 통한다.)
• Dopants : 불순물
  • donors : 추가 electron을 가진다. (n-type, 5족)
  • acceptors : 추가 hole을 가진다. (p-type, 3족)
  • Si는 4개의 bond를 가지기 때문에 donor와 acceptor를 섞어서 사용한다.

1. n-type 불순물을 첨가하면 Donor가 생긴다. 그리고 Si의 $E_{CB}$ 근처로 Dopant의 $E_{VB}$가 존재하게 된다. 따라서 Dopant의 $E_{VB}$ 이 가깝기 때문에 전자를 쉽게 줄 수 있다.
2. p-type 불순물을 첨가하면 Acceptor가 생긴다. 그리고 Si의 $E_{VB}$ 근처로 Dopant의 $E_{CB}$가 존재하게 된다. 따라서 Dopant의 $E_{CB}$ 과 가까워져서 전자를 쉽게 받는다.

Dopant에 따른 Fermi level 변화

• Fermi level 에너지 위치는 dopant의 농도에 따라 달라진다.
• n-type :
  • $E_F$ = $E_i + k_B ln(N_D/n_i)$ ($n_i$는 전자수 농도, $N_D$는 donor의 농도)
  • 즉, dopant의 농도가 높아지면, fermi level은 더욱 올라간다. (전자가 많아지니까!)
• p-type :
  • $E_F$ = $E_i - k_B ln(N_A/n_i)$ ($n_i$는 전자수 농도, $N_D$는 acceptor의 농도)
  • 즉, dopant의 농도가 높아지면, fermi level은 더욱 내려간다. (전자가 없어지니까!)

4-4) 평형상태에서 electron & hole의 농도

Extrinsic

$$n_o = \int_{E_{CB}}^{} N(E), dE$$

• $n_o$ : n-type에서 conduction band에서 electron의 농도
• $N(E)$ = E~E+dE 사이 unit energy
• ECB : conduction band의 minimum E
• $n_o$ = $N_cF(E_{CB})$
• $N_c$ : $E_{CB}$에 위치한 states의 효과적인 density
• $F(E)$ : 특정 E에서 전자들이 채워질 확률

정리하자면

• $n_o$ = $N_c(1/(1+exp^{(E-E_F)/k_BT}))$, 만약 $E_{CB} - E_F >> k_BT$ 라면??
  • $N_c(exp^{-(E_{CB}-E_F)/k_BT}))$
• $p_o$ = $N_c(1/(1+exp^{(E-E_F)/k_BT}))$, 만약 $E_{F} - E_{VB} >> k_BT$ 라면??
  • $N_c(exp^{-(E_F-E_{VB})/k_BT}))$

Intrinsic

위를 응용하면 된다.

• $no po$ = $n_i^2$
• $n_i^2 = N_cN_vexp^{-Eg/kBT}$

4-5) Friedel Oscillations

정의 : surface에서 끝나는 지점에서 electron density가 한 번에 떨어지지 않고, Oscillation이 일어난 후 Exponential하게 떨어진다.

 

x축으로 갈 수록 suface에 가까워지는 부분이다. 

 

원래는 surface에 가까워지더라도, 전자 밀도가 같아야하지만, surface에서 가까운 부분은 전자밀도가 oscilliation이 일어난다.