2-1. Structure : Crystal, Lattice, Miller indices

본 글은 고려대학교 화공생명공학과 하정숙 교수님의 강의록을 참고하였으므로,
이를 상업적으로 이용하면 안되며, 글을 가져가실 때는 꼭 출처와 댓글을 남겨주시기 바랍니다.

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chapter 2. Structure

1. Electronic Structure vs Geometric Structure
   • 전자적인 구조란 전자들의 배열에 초점을 맞춘다.
   • 기하하적 구조는 atom들의 배열에 초점을 맞춘다.
2. Clean Surface vs Adsorbate covered surface
   • 깨끗한 surface에서 하는 것과 adsorbate가 덮여있는 것과 다르다.
3. Adsorbate Structure
   • substrate atom에 대해서 adsorbate가 어떻게 흡착되어있느냐가 중요하다.
   • 즉, 어디에 붙는지에 따라 달라진다. 옆자리에 누가 있는지가 제일 중요하다.

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cf) Crystal Lattices

1. Lattices & unit cells

• Crystal 의 정의 : 구조적 motif이 반복적으로 만들어져 있는 것을 말한다.
• 구조적 motif은 atom, 분자, or atom 분자 이온 그룹 들로 구성되어있다.
• space lattice는 어떤 surface의 구조적인 motif의 위치, atom이나 분자 등등이 위치하는 point들로 구성되어있는 패턴들이다.
• 즉, crystal을 다시 말하자면, 각각의 Lattice point에 분자나 atom이나 그룹을 규칙적으로 배열한 패턴이 반복되는 구조라고 말할 수 있다.
• motif : 색이나 디자인이 single or 반복한다.

• unit cell: crystal 구조에서 pattern이 상하좌우가 반복되도 유지하는 단위를 말한다.
• unit cell은 자기가 정하기 마음이다. 하지만 직각에 가까우며 가장 길이가 짧은 것을 원칙적으로 한다.

• Bravis Lattices
  • P: primitive(with lattice points only at corners)
  • I:body-centered (lattice points at corners & at its centers)
  • F:face-centered(lattice points at corners & at centers of its 6 faces)
  • (A,B,or C): side-centered (lattice points at corners & at the centers of 2 opposite faces)

이처럼 14가지의 lattice unit cell의 구조가 있다. 잘 알아둘 것.

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2. The identification of lattice planes

우리가 과연 lattice plane을 어떻게 정의할 것인가? 이 질문이 제일 중요하다.

2-1) The Miller indices (hkl)

교차점의 거리의 역수 (reciprocals of intersection distances) : 면들을 구분하기위한 최소의 거리를 (a,b,c)로 표현하자.

2-1-1) 실공간

오른쪽, 위로 이동하는 것을 +라고 정하고, 각각 a,b라고 정하자.
각각의 그림에 대해서 실공간으로 표현한 그림이다.
하나의 면을 나타내기 위해서 격자점을 정하면 된다. (b를 보면 a/2, b/3 칸 가야 한 면을 표현할 수 있다.)

2-1-2) 역공간

(a) : (1,1,∞) → (1,1,0)

(b) : (-1,1,∞) → (-1,1,0)

(c) : (1/2,1/3, ∞) → (2,3,0)

(d) : (∞,1,∞) → (0,1,0)

 

역공간은 실공간을 1/n로 나타내준 것이다.

face가 중요한 이유!!!

각각의 face들을 보면, 110, 100, 111 마다 각각의 lattice point가 다르므로,
반응 site가 다르기 때문에, face가 다르면 반응하는 정도가 다 다르다!! 따라서 surface에서는 lattice point가 굉장히 중요하다.

 

그래서 우리는 각 suface의 face를 알기 위해 lattice point를 보는 것이다.

2-2) separation of planes

• 정육면체 일 때 :
  {hkl} 평면의 lattice : $1/d_{hkl}^2 = (h^2+k^2+l^2)/a^2$
• 직육면체 일 때 :
  {hkl} 평면의 lattice : $1/d_{hkl}^2 = (h^2/a^2+k^2/b^2+l^2/c^2)$
• lattice point를 자르는 평면과의 관계 & unit cell의 차원 서로 연관이 있다.
• 위를 증명하는 것은 삼각함수를 써서 증명한다.

여기서 우리가 역공간을 왜 쓰는지가 나왔다. (이게 굉장히 중요한 point)

실제로 lattice 와 suface 간의 거리를 알기 위해 우리는 h,k,l 이라는 역공간의 수를 이용하기 때문에,

우리는 h,k,l을 구하기 위해 실공간을 역공간으로 치환해서 구한다.

 

그리고 이 d를 우리는 XRD에서 d를 구함으로써 구할 수 있다.

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3. Crystal Strucuture

3-1) Metal solid

동일한 cation들이 배열 되어있고, 전자들이 delocalize 되어있다. 구부릴 수도 있고 연성이 있다.

3-1-1) Close Packing

밀집되어있는 것을 말한다.

• polytype : 2D에서는 똑같지만, 3D에서 보았을 때 구조가 다른 것을 말한다.
• close packing을 위해 polytype이 다른 두 가지 모델이 제시된다.

hcp, fcc

1. hcp (Hexagonal Close Packing) : 3 번째 1 번째 layer가 동일한 배열을 가질 때
2. FCC (Face Center Cubic) : 1,2,3 번째 layer 가 모두 다르다.
3. Coordination Number : 선택된 원자에 바로 근접한 원자의 갯수
4. Packing Fraction : unit cell의 부피에 비해 원자들의 부피를 나눠준 값. density가 1에 가까울수록 밀집되어있다.